Calculs d'angles - Corrigé

Énoncé

1. Dans le plan complexe, on considère le point \(\text M\)  qui a pour coordonnées  \((2,2)\) . Déterminer une mesure de l'angle  \((\vec{u},\overrightarrow{\text O\text M})\) .

  2. Dans le plan complexe, on considère le point  \(\text A\) d'affixe  \(2+\sqrt{2}i\) , le point \(\text B\)  d'affixe  \(4+\sqrt{2}i\) , 
le point  \(C\)  d'affixe  \(2+i \sqrt{3}\)  et le point  \(\text D\)  d'affixe  \(3+2\sqrt{3}i\) . Déterminer une mesure de l'angle  \(( \overrightarrow {\text A\text B}, \overrightarrow{\text C\text D})\) .

Solution

1.  \(\mid z\mid=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt8=2\sqrt{2}\)
\(z=2\sqrt{2}(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i)\)  et  \(\arg(z)=\dfrac{\pi}{4}\lbrack2\pi\rbrack\)
Ainsi  \((\vec{u},\overrightarrow{\text O\text M})\) \(=\) \(\dfrac{\pi}{4}\lbrack2\pi\rbrack\) .

2.  \(\dfrac{z_\text D-z_\text C}{z_\text B-z_\text A}=\dfrac{3+2\sqrt{3}i-(2+i\sqrt{3})}{4+\sqrt{2}i-(2+\sqrt{2}i)}= \dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}\)
Ainsi  \(( \overrightarrow {\text A\text B}, \overrightarrow{\text C\text D}) = \arg(\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2})=\dfrac{\pi}{3}\lbrack2\pi\rbrack\) .